高考數(shù)學(xué)模擬試題及答案:數(shù)列
1.(2015·四川卷)設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)的前n項和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列。
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記數(shù)列an(1的前n項和為Tn,求使得|Tn-1| <1 000(1成立的n的最小值。
解 (1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2)。
從而a2=2a1,a3=2a2=4a1。
又因為a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,
即a1+a3=2(a2+1)。
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2。
所以,數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列。
故an=2n。
(2)由(1)得an(1=2n(1。
所以Tn=2(1+22(1+…+2n(1=2(1=1-2n(1。
由|Tn-1| <1 000(1,得-1(1<1 000(1,
即2n>1 000。
因為29=512 <1 000<1 024=210,所以n≥10。
于是,使|Tn-1| <1 000(1成立的n的最小值為10。
2.(2015·山東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn。已知2Sn=3n+3。
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an,求{bn}的前n項和Tn。
解 (1)因為2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,
當n>1時,2Sn-1=3n-1+3,
此時2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,
又因為n=1時,不滿足上式,所以an=3n-1,n>1。(3,n=1,
(2)因為anbn=log3an,所以b1=3(1,
當n>1時,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n。
所以T1=b1=3(1;
當n>1時,Tn=b1+b2+b3+…+bn=3(1+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n),
所以3Tn=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n),
兩式相減,得2Tn=3(2+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=3(2+1-3-1(1-31-n-(n-1)×31-n=6(13-2×3n(6n+3,所以Tn=12(13-4×3n(6n+3。經(jīng)檢驗,n=1時也適合。
綜上可得Tn=12(13-4×3n(6n+3。
??3.(2015·天津卷)已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實數(shù),且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列。
(1)求q的值和{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=a2n-1(log2a2n,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項和。
解 (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,
所以a2(q-1)=a3(q-1)。又因為q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2。
當n=2k-1(k∈N*)時,an=a2k-1=2k-1=22(n-1;
當n=2k(k∈N*)時,an=a2k=2k=22(n。
所以,{an}的通項公式為an=,n為偶數(shù)。(n
(2)由(1)得bn=a2n-1(log2a2n=2n-1(n。設(shè){bn}的前n項和為Sn,則Sn=1×20(1+2×21(1+3×22(1+…+(n-1)×2n-2(1+n×2n-1(1,
2(1Sn=1×21(1+2×22(1+3×23(1+…+(n-1)×2n-1(1+n×2n(1,
上述兩式相減,得2(1Sn=1+2(1+22(1+…+2n-1(1-2n(n=2(1-2n(n=2-2n(2-2n(n,
整理得,Sn=4-2n-1(n+2。
所以,數(shù)列{bn}的前n項和為4-2n-1(n+2,n∈N*。
4.(2015·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x+x(1(x>0),以點(n,f(n))為切點作函數(shù)圖像的切線ln(n∈N*),直線x=n+1與函數(shù)y=f(x)圖像及切線ln分別相交于An,Bn,記an=|AnBn|。
(1)求切線ln的方程及數(shù)列{an}的`通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{nan}的前n項和為Sn,求證:Sn <1。
解 (1)對f(x)=x+x(1(x>0)求導(dǎo),得f′(x)=1-x2(1,
則切線ln的方程為y-n(1=n2(1(x-n),
即y=n2(1x+n(2。
易知Ann+1(1,Bnn2(n-1,
由an=|AnBn|知an=n2(n-1=n2(n+1)(1。
(2)證明:∵nan=n(n+1)(1=n(1-n+1(1,
∴Sn=a1+2a2+…+nan=1-2(1+2(1-3(1+…+n(1-n+1(1=1-n+1(1 <1。
5.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列。
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=(-1)n-1anan+1(4n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。
解 (1)因為S1=a1,S2=2a1+2(2×1×2=2a1+2,
S4=4a1+2(4×3×2=4a1+12,
由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
解得a1=1,所以an=2n-1。
(2)bn=(-1)n-1anan+1(4n=(-1)n-1(2n-1)(2n+1)(4n
=(-1)n-12n+1(1。
當n為偶數(shù)時,
Tn=3(1-5(1+…+2n-3(1+2n-1(1-2n+1(1=1-2n+1(1=2n+1(2n。
當n為奇數(shù)時,
Tn=3(1-5(1+…-2n-3(1+2n-1(1+2n+1(1=1+2n+1(1=2n+1(2n+2。
所以Tn=,n為偶數(shù)。(2n或Tn=2n+1(2n+1+(-1)n-1
6.(2015·杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=1-4an(1,其中n∈N*。
(1)設(shè)bn=2an-1(2,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出{an}的通項公式;
(2)設(shè)cn=n+1(4an,數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得Tn 解 (1)∵bn+1-bn=2an+1-1(2-2an-1(2
=-1(1-2an-1(2
=2an-1(4an-2an-1(2=2(常數(shù)),
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。
∵a1=1,∴b1=2,
因此bn=2+(n-1)×2=2n,
由bn=2an-1(2得an=2n(n+1。
(2)由cn=n+1(4an,an=2n(n+1得cn=n(2,
∴cncn+2=n(n+2)(4=2n+2(1,
∴Tn=21-3(1+2(1-4(1+3(1-5(1+…+n(1-n+2(1
=2n+2(1 <3,
依題意要使Tn 即4(m(m+1)≥3,
解得m≥3或m≤-4,又m為正整數(shù),所以m的最小值為3。